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# 复变函数 (Complex Variables) # 基础概念与解析函数 几个初等复变函数 复变函数的导数：定义与相关条件 复变函数可导的定义。 柯西-黎曼（C-R）条件及其极坐标形式。 复变函数可导的充要条件及其证明。 解析函数与调和函数 解析函数的定义。 解析函数与调和函数的关系。 由实部计算解析函数虚部的方法。 支点的定义。 # 复变函数的积分 积分定义与柯西定理 复变函数积分的定义。 单连通区域的柯西定理及其证明。 复连通区域的柯西定理。 柯西积分公式及其应用 柯西积分公式、证明引理与证明。 无界区域的柯西积分公式及其证明。 柯西积分公式的导函数形式。 利
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# 概述 # 随机方差模型的基本思想 传统的线性平稳过程，如基于沃尔德分解定理的模型 yt=μt+uty_t=\mu_t+u_tyt​=μt​+ut​，其中 ut=θ(B)εtu_t=\theta(B)\varepsilon_tut​=θ(B)εt​，其无条件方差和条件方差均为常数。然而，许多金融时间序列数据的波动性会随时间变化，传统的模型无法捕捉这种动态。 为了解决这一问题，随机方差模型应运而生： yt=μt(θ)+εty_t=\mu_t(\theta)+\varepsilon_tyt​=μt​(θ)+
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# 概览与背景 在时间序列分析中，序列的记忆性通常通过其自相关函数（ACF）的衰减速度来衡量。 短记忆序列：对于 I(0)I(0)I(0) 序列，ACF 以指数（几何）速率衰减。这意味着远离当前时间的序列值与当前值近似独立。 长记忆序列：对于 I(1)I(1)I(1) 序列，ACF 衰减速度非常慢，以线性速率衰减，导致远离当前时间的序列值与当前值并非独立。 分数阶积分序列：I(d)I(d)I(d) 分数阶积分序列介于短记忆和长记忆之间。其 ACF 以多项式速率衰减，表明远离当前时间的序列值与当前值存在微弱但非零的相关性，这就是长记忆性的来源。 # 分数阶积分过程 # ARFIMA(0,d
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# 频谱密度 # 频谱密度的定义与性质 频谱密度函数 f(λ)f(\lambda)f(λ)：对于一个平稳时间序列的自协方差函数 γh\gamma_hγh​，其频谱密度定义为： f(λ)=12π∑n=−∞∞γneinλ, λ∈[−π,π]f(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty \gamma_n e^{in\lambda},~\lambda\in [-\pi,\pi] f(λ)=2π1​n=−∞∑∞​γn​einλ, λ∈[−π,π] 它描述了时间序列的方差（或总能量）在不同频
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# 概述 传递函数模型是描述单输入单输出或多输入单输出系统动态关系的一种重要工具。其基本形式为： yt=ν(B)xt+nty_t = \nu(B)x_t + n_t yt​=ν(B)xt​+nt​ 其中： yty_tyt​ 是输出序列。 xtx_txt​ 是输入序列。 ν(B)=∑j=−∞∞νjBj\nu(B) = \sum_{j=-\infty}^{\infty} \nu_j B^jν(B)=∑j=−∞∞​νj​Bj 是传递函数。 ntn_tnt​ 是与 xtx_txt​ 独立的噪声序列。 当输入
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# 虚假相关 (Spurious Correlation) 在分析时间序列数据时，我们常常需要检验两个时间序列 X={xt}X=\{x_t\}X={xt​} 和 Y={yt}Y=\{y_t\}Y={yt​} 之间的相关性。 # 交叉协方差和交叉相关函数 交叉协方差函数 (CCVF) γX,Y(t,s)\gamma_{X,Y}(t,s)γX,Y​(t,s): 衡量 xtx_txt​ 和 ysy_sys​ 之间的协方差，其定义为 γX,Y(t,s)=Cov(xt,ys)\gamma_{X,Y}(t,s)=Cov(x_
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# 干预分析 干预分析旨在识别并量化外部事件对时间序列数据的影响。 # 通用干预模型 一个受干预的时间序列 yty_tyt​ 可被分解为两部分： yt=mt+Nty_t = m_t + N_t yt​=mt​+Nt​ 其中： NtN_tNt​ 是不受干预影响的自然过程，通常建模为 ARIMAARIMAARIMA 过程（可以是季节性或非季节性的）。 mtm_tmt​ 是由干预事件引起的均值变化，即干预效应。 # 阶跃干预 (Step Intervention) 阶跃干预指的是在某个时间点 TTT 之后，干预效果持续存在。 阶跃函数：St(T)={1t
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# 传统分析方法 # 季节性时间序列的构成与分解 季节性时间序列 yty_tyt​ 通常可以分解为三个部分：趋势项 PtP_tPt​、季节项 StS_tSt​ 和随机误差项 ete_tet​。 yt=Pt+St+ety_t = P_t + S_t + e_t yt​=Pt​+St​+et​ 其中，PtP_tPt​ 代表序列的长期趋势， StS_tSt​ 代表序列在固定周期内的重复模式，而 ete_tet​ 则代表无法被趋势和季节性解释的随机波动。 # 回归方法 回归分析是分解季节性时间序列的一种常用方法。它将序列 yty_tyt​ 建模为趋势项和季节项的函数。 y
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# 模型构建 # Box-Jenkins 方法 Box-Jenkins 方法是构建 ARIMA 模型的经典流程，其基本步骤包括： 确定模型（Identification）： 通过分析时间序列的性质，初步确定模型的类型和阶数。 估计参数（Estimation）： 利用样本数据估计模型的具体参数。 模型诊断（Diagnostic Checking）： 检验模型是否恰当，若不通过则返回第一步重新构建。 # ARIMA 模型构建步骤 以下是使用 Box-Jenkins 方法构建 ARIMA 模型的详细步骤： 数据预处理与平稳性检验 首先绘制时间序列图，直观了解数据的趋势和季节性。 对非平稳
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# 概述：确定性趋势与随机趋势的比较 非平稳时间序列主要有两种类型：趋势平稳（Trend Stationary） 和 差分平稳（Difference Stationary）。趋势平稳序列具有确定性时间趋势，而差分平稳序列（也称单位根过程）则包含随机趋势。 # 趋势平稳（确定性时间趋势） yt=α+δt+ψ(B)εt,y_t=\alpha+\delta t+\psi(B)\varepsilon_t, yt​=α+δt+ψ(B)εt​, 其中 BBB 是滞后算子，Bεt=εt−1B\varepsilon_t = \varepsilon_{t-1}B