真正的火羽白

# Z 变换的基本概念与定义 # Z 变换的定义 Z 变换由离散系统的特征函数引出。对于离散时间信号 x[n]x[n]x[n]，其 Z 变换 X(z)X(z)X(z) 定义为： X(z)=∑n=−∞∞x[n]z−nX(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} X(z)=n=−∞∑∞​x[n]z−n 其中，zzz 是一个复变量。 # Z 变换与 Laplace 变换的关系 Z 变换可以看作是采样信号的 Laplace 变换（LT）。当对一个连续时间信号 xa(t)x_a(t)xa​(t) 进行采样得到

# 拉普拉斯变换 (LT) 的基本概念 # 定义与傅里叶变换 (FT) 的关系 定义：拉普拉斯变换 L{x(t)}L\{x(t)\}L{x(t)} 将时域信号 x(t)x(t)x(t) 转换到复频域 sss 平面上的函数 X(s)X(s)X(s)，其表达式为：X(s)=∫−∞∞x(t)e−stdt, 其中 s=σ+jωX(s) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt,\ \text{其中}\ s=\sigma+j\omega X(s)=∫−∞∞​x(t)e−stdt, 其中 s=σ+jω 与傅

# 滤波 # 信号传输的无失真条件 无失真传输是指信号在传输过程中，其波形保持不变，仅可能存在幅度的增益/衰减和时间上的延迟。 无失真传输关系式 时域表达式： y(t)=kx(t−t0)y(t)=kx(t-t_0) y(t)=kx(t−t0​) 频域表达式： H(jω)=Y(ω)X(ω)=ke−jωt0H(j\omega)=\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}=ke^{-j\omega t_0} H(jω)=X(ω)Y(ω)​=ke−jωt0​ 其中，幅频特性 ∣H(ω)∣

# 信号相关函数 # 互相关函数 定义： 互相关函数用于衡量两个信号在不同时移下的相似度。 Rxy(t)=∫x(τ)y∗(τ−t)dτ=x(t)∗y∗(−t)=⟨x(τ),y(τ−t)⟩R_{xy}(t)=\int x(\tau)y^*(\tau-t)d\tau=x(t)*y^*(-t)=\left\langle x(\tau),y(\tau-t) \right\rangle Rxy​(t)=∫x(τ)y∗(τ−t)dτ=x(t)∗y∗(−t)=⟨x(τ),y(τ−t)⟩ 性质： 互相关函数具有共轭偶对称

# 离散信号的特性 # 频率特性 角频率 ω\omegaω 和 ω+2πk\omega+2\pi kω+2πk 无法区分，因此主值区间通常取 [0,2π][0, 2\pi][0,2π] 或 [−π,π][-\pi, \pi][−π,π]。 频率 f=ω2πf = \frac{\omega}{2\pi}f=2πω​ 的主值区间取 [0,1][0, 1][0,1] 或 [−0.5,0.5][-0.5, 0.5][−0.5,0.5]。 π\piπ 代表最高频率，而 000 和 2π2\pi2π 代表最低频率。 # 周期性 离散周期信号的周期 NNN 必须是整数，且

# 系统特征分析 # 特征函数与特征值 对于一个线性时不变（LTI）系统 TTT，其特征函数是 s(u)s(u)s(u)，对应的特征值是 λ\lambdaλ，满足以下关系： T(s(u))=λs(u)T(s(u))=\lambda s(u) T(s(u))=λs(u) 其中，典型的特征函数是复指数信号 ejωte^{j\omega t}ejωt 和 znz^nzn，对应的特征值分别是系统的频率响应 H(ω)H(\omega)H(ω) 和 H(z)H(z)H(z)。 连续时间系统： 输入 ejωte^{j\omega t}ejωt，输出 y(t)=H(ω

# LTI 系统基础 # LTI 系统的响应求解 对于线性时不变（LTI） 系统，其输出 y(t)y(t)y(t) 是输入 x(t)x(t)x(t) 和系统冲激响应 h(t)h(t)h(t) 的卷积。 y[n]=x[n]∗h[n]y[n]=x[n]*h[n] y[n]=x[n]∗h[n] 卷积运算满足以下性质： 交换律: f∗g=g∗ff*g = g*ff∗g=g∗f 分配律: f∗(g+h)=f∗g+f∗hf*(g+h) = f*g + f*hf∗(g+h)=f∗g+f∗h 结合律: (f∗g)∗h&

# 信号分类 连续时间信号与离散时间信号：根据自变量是连续的还是离散的进行区分。 确定性信号与非确定性信号：根据信号在任意时刻的值是否能被精确预测进行区分。 实信号与复信号：根据信号的取值是实数还是复数进行区分。 周期信号与非周期信号：根据信号是否具有重复的周期性进行区分。 # 信号分解 # 信号分解方法 直流分量与交流分量 偶分量与奇分量： 实值信号可分解为偶对称分量和奇对称分量。 复值信号可分解为共轭对称分量和共轭奇对称分量。xcs[n]=12[x[n]+x∗[−n]](共轭对称)x_{cs}[n] = \frac{1}{2}[x[n] + x^*[-n]]

# 算法设计方法 # 蛮力法（Brute-force） 简介：这是一种最直接、最简单的算法设计方法，通常基于问题的描述和所涉及的概念来直接构造算法。 # 分治法（Divide and Conquer） 简介：将一个大问题分解成若干个相互独立、规模较小的子问题，递归地解决这些子问题，然后将子问题的解合并，以得到原问题的解。 典型应用：快速排序、二叉树遍历、大整数乘法、矩阵乘法、快速傅里叶变换（FFT）。 # 减治法（Decrease and Conquer） 简介：将一个问题转化为一个或多个规模较小的同类子问题，通常只需要解决其中一个子问题，通过求解该子问题来得到原问题的解。 典型应用

# 基本概念 # 数值问题 问题的适定性 (Well-Posed Problem) 解存在。 解唯一。 解连续依赖于问题数据。 问题的良态性 (Well-Conditioned Problem) 解对输入数据不敏感。 在实际应用中，通常认为病态（Ill-Conditioned）问题是适定的。 算法的稳定性 (Stable Algorithm) 解对计算误差不敏感。 如果一个算法产生的解是其邻近问题的精确解，即计算过程中的扰动不超过输入数据扰动的影响，则称该算法是稳定的。 如果问题本身是病态的，即使使用稳定的算法，也不一定能得到问题的精确解，因为相邻问题的解也可能差异很大。 只有